Задача на преобразования многочленов, и разумный подбор (как я понял) Про многочлен $$P(x)$$ четвёртой степени известно, что для любого вещественного $$x$$ выполнено$$P\left(x\right)⩾2x$$, а также $$P(2) + P(4) = 12$$, $$P(3) = 8$$. Найдите $$P(5)$$.
Задача на преобразования многочленов, и разумный подбор (как я понял) Про многочлен $$P(x)$$ четвёртой степени известно, что для любого вещественного $$x$$ выполнено$$P\left(x\right)⩾2x$$, а также $$P(2) + P(4) = 12$$, $$P(3) = 8$$. Найдите $$P(5)$$.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Дано, что для любого вещественного xxx выполняется P(x)⩾2xP(x)⩾2xP(x)⩾2x. Это означает, что график функции P(x)P(x)P(x) находится выше прямой y=2xy=2xy=2x для всех xxx.
Также известно, что P(3)=8P(3) = 8P(3)=8. Значит, уравнение многочлена выглядит следующим образом: P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+8P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + 8P(x)=ax4+bx3+cx2+dx+8.
По условию, P(2)+P(4)=12P(2) + P(4) = 12P(2)+P(4)=12. Подставляя уравнение многочлена, получаем:
(16a+8b+4c+2d+8)+(256a+64b+16c+4d+8)=12(16a + 8b + 4c + 2d + 8) + (256a + 64b + 16c + 4d + 8) = 12(16a+8b+4c+2d+8)+(256a+64b+16c+4d+8)=12
272a+72b+20c+6d+16=12272a + 72b + 20c + 6d + 16 = 12272a+72b+20c+6d+16=12
272a+72b+20c+6d=−4272a + 72b + 20c + 6d = -4272a+72b+20c+6d=−4
Из условия что P(x)⩾2xP(x)⩾2xP(x)⩾2x видно, что коэффициент при x4x^4x4 должен быть положительным, следовательно, $$a > 0$$.
Подставим данные в найденное уравнение:
272a+72b+20c+6d=−4272a + 72b + 20c + 6d = -4272a+72b+20c+6d=−4
272a+72b+20c+6d=−4272a + 72b + 20c + 6d = -4272a+72b+20c+6d=−4
Подставим значения a=1a = 1a=1:
272+72b+20c+6d=−4272 + 72b + 20c + 6d = -4272+72b+20c+6d=−4
272+72b+20c+6d=−4272 + 72b + 20c + 6d = -4272+72b+20c+6d=−4
Найдём b, c, d
72b+20c+6d=−27672b + 20c + 6d = -27672b+20c+6d=−276
72b=−28072b = -28072b=−280
b=−280/72=−35/9b = -280/72 = -35/9b=−280/72=−35/9;
20c+6d=−27620c + 6d = -27620c+6d=−276
20c+6d=−27620c + 6d = -27620c+6d=−276
20c+6d=−27620c + 6d = -27620c+6d=−276
20c−6∗35=−27620c - 6*35 = -27620c−6∗35=−276
c=−51/10c = -51/10c=−51/10
6d=−276−20∗(−51/10)6d = -276 - 20*(-51/10)6d=−276−20∗(−51/10)
6d=−276+255/106d = -276 + 255/106d=−276+255/10
d=−21/10d = -21/10d=−21/10
Таким образом, многочлен P(x)=x4−(35/9)x3−(51/10)x2−(21/10)x+8P(x) = x^4 - (35/9)x^3 - (51/10)x^2 - (21/10)x + 8P(x)=x4−(35/9)x3−(51/10)x2−(21/10)x+8. Теперь найдём P(5)P(5)P(5):
P(5)=54−(35/9)<em>53−(51/10)</em>52−(21/10)∗5+8P(5) = 5^4 - (35/9)<em>5^3 - (51/10)</em>5^2 - (21/10)*5 + 8P(5)=54−(35/9)<em>53−(51/10)</em>52−(21/10)∗5+8
P(5)=625−(875/9)−127.5−10.5+8P(5) = 625 - (875/9) - 127.5 - 10.5 + 8P(5)=625−(875/9)−127.5−10.5+8
P(5)=625−97.22−127.5−10.5+8P(5) = 625 - 97.22 - 127.5 - 10.5 + 8P(5)=625−97.22−127.5−10.5+8
P(5)=397.78P(5) = 397.78P(5)=397.78
Итак, P(5)=397.78P(5) = 397.78P(5)=397.78.