Пусть у нас есть произвольное число n. Представим это число в десятичной и двоичной системах счисления. Пусть десятичное представление числа n имеет длину k, а двоичное представление числа n имеет длину m.

Тогда можно записать неравенство:
m ≤ log2$n$ + 1,
k ≤ log10$n$ + 1.

Так как log2$n$ = log10$n$ / log10$2$, то, подставив это в первое неравенство, получим:
m ≤ $log10(n)+1$ / log10$2$ + 1,
m ≤ 4 * log10$n$ + 4.

Таким образом, для любого числа n длина его двоичной записи не превышает длины его десятичной записи более чем в четыре раза.

Для очень больших чисел отношение длин двоичной и десятичной записей будет стремиться к константе, примерно равной 4.