Олимпиада по алгебре 1. Действительное число a таково, что 2a−1a=3. Чему равно 16a4+1a4?
2. При каком наибольшем k можно утверждать, что при любой покраске в черный цвет k клеток белого квадрата 7×7 обязательно останется целиком белый квадрат 3×3 со сторонами, идущими по линиям сетки?
3. Петя написал на доске натуральное число A. Если его умножить на 5, то получится квадрат натурального числа. Сколько существует таких трехзначных чисел B, для которых A⋅B тоже является квадратом натурального числа?
4. В футбольном турнире участвовали 25 команд. Каждая сыграла один матч с каждой. За победу команда получает 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0. После окончания турнира Вася посчитал сумму очков, набранных командами. Получилось 740. Какое количество матчей завершилось вничью?
Олимпиада по алгебре 1. Действительное число a таково, что 2a−1a=3. Чему равно 16a4+1a4?
2. При каком наибольшем k можно утверждать, что при любой покраске в черный цвет k клеток белого квадрата 7×7 обязательно останется целиком белый квадрат 3×3 со сторонами, идущими по линиям сетки?
3. Петя написал на доске натуральное число A. Если его умножить на 5, то получится квадрат натурального числа. Сколько существует таких трехзначных чисел B, для которых A⋅B тоже является квадратом натурального числа?
4. В футбольном турнире участвовали 25 команд. Каждая сыграла один матч с каждой. За победу команда получает 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0. После окончания турнира Вася посчитал сумму очков, набранных командами. Получилось 740. Какое количество матчей завершилось вничью?
2. При каком наибольшем k можно утверждать, что при любой покраске в черный цвет k клеток белого квадрата 7×7 обязательно останется целиком белый квадрат 3×3 со сторонами, идущими по линиям сетки?
3. Петя написал на доске натуральное число A. Если его умножить на 5, то получится квадрат натурального числа. Сколько существует таких трехзначных чисел B, для которых A⋅B тоже является квадратом натурального числа?
4. В футбольном турнире участвовали 25 команд. Каждая сыграла один матч с каждой. За победу команда получает 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0. После окончания турнира Вася посчитал сумму очков, набранных командами. Получилось 740. Какое количество матчей завершилось вничью?
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Умножим обе части на a, получаем 2a^2 - 1 = 3a.
Получаем квадратное уравнение 2a^2 - 3a - 1 = 0.
Решаем его с помощью дискриминанта: D = 3^2 - 42(-1) = 17.
a = (3 +/- sqrt(17)) / 4.
Так как a - действительное число, то a = (3 + sqrt(17)) / 4.
Теперь подставим полученное значение a в выражение 16a^4 + 1/a^4:
16(a^4) + 1/(a^4) = 16((3 + sqrt(17)) / 4)^4 + 4^4 / (3 + sqrt(17))^4
= 16(3^4 + 43^3sqrt(17) + 63^217 + 4317^(3/2) + 17^2) / 4^4 + 4^4 / ((3 + sqrt(17))^4)
= 12318.
Ответ: 12318.
При k = 16 можно утверждать, что при любой покраске в черный цвет 16 клеток белого квадрата 7×7 обязательно останется целиком белый квадрат 3×3.
Натуральное число A можно представить в виде A = x^2 / 5, где x - натуральное число.
Тогда A B = x^2 B / 5. Так как произведение A B - квадрат натурального числа, то x^2 B / 5 = y^2, где y - натуральное число.
Отсюда получаем, что B = 5y^2 / x^2. Так как B - трехзначное число, то 100 <= B <= 999.
Составим все возможные варианты B и найдем количество подходящих:
B = 100: x = 1, y = 1.
B = 125: x = 5, y = 5.
B = 144: x = 2, y = 6.
B = 175: x = 5, y = 7.
B = 200: x = 1, y = 2.
Всего 4 трехзначных числа B.
Ответ: 4.
Общее количество матчей, которое должно быть в турнире, равно C(25, 2) = 300. Каждая команда сыграла по 24 матча (т.е. 24*25/2 = 300 матчей в общем). Так как за каждую игру получается 3 очка, то общее количество очков должно быть кратно 3. 740 не кратно 3, следовательно, такой турнир невозможен.Вывод: задача поставлена некорректно.