Для доказательства того, что выражение n^3 + 3n^2 + 5n + 3 делится на 4 для любого натурального n, можно воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:
При n = 1, выражение принимает значение 1^3 + 31^2 + 51 + 3 = 1 + 3 + 5 + 3 = 12, что делится на 4 без остатка.

Предположение индукции:
Предположим, что выражение n^3 + 3n^2 + 5n + 3 делится на 4 для произвольного натурального n = k, т.е. (k^3 + 3k^2 + 5k + 3) mod 4 = 0.

Шаг индукции:
Докажем, что при n = k + 1 также выполняется условие, т.е. ((k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1) + 3) mod 4 = 0.

((k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 5(k + 1) + 3) mod 4 =
= (k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 5k + 5 + 3) mod 4 =
= (k^3 + 3k^2 + 5k + 3) mod 4 = 0.

Таким образом, по принципу математической индукции утверждение верно при всех натуральных значениях n.