Для того чтобы найти остаток при делении числа 3^(7^2010) на 7, мы можем воспользоваться малой теоремой Ферма, которая гласит следующее: если p - простое число, а a - целое число не делящееся на p, то a^(p-1) при делении на p дает остаток 1.

Заметим, что 7 - простое число, а также что 3^7 ≡ 1 (mod 7) по малой теореме Ферма. Таким образом, необходимо найти остаток от деления 7^2010 на 6 (так как 7-1=6), чтобы найти остаток при делении числа 3^(7^2010) на 7.

Очевидно, что 7^2010 делится на 6 без остатка, еслирассмотреть четные степени семерки (например, 7^2 = 49 делится на 6). Следовательно, 7^2010 даёт остаток 0 при делении на 6.

Итак, 3^(7^2010) будет делиться на 7 без остатка.