Для нахождения производной функции f(x) = 2ctg(x) воспользуемся определением производной тангенса как производной синуса и косинуса.

Тангенс представляется в виде ctg(x) = cos(x)/sin(x).

f(x) = 2ctg(x)
f(x) = 2cos(x)/sin(x)

Теперь продифференцируем это выражение:

f'(x) = 2*(-sin(x))/sin^2(x)
f'(x) = -2/sin(x)

Так как синус обратного котангенса равен sin(artctg(x)) = 1/√(1+x^2), то:
sin(x) = 1/√(1+(ctg(x))^2)

Следовательно, производная функции f(x) = 2ctg(x) равна:
f'(x) = -2/(1+(ctg(x))^2)