Для начала найдем производные функции y=x^5-x^3+x+2:

y' = 5x^4 - 3x^2 + 1

Затем найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

5x^4 - 3x^2 + 1 = 0

Данное уравнение не имеет рациональных корней, поэтому будем решать его численно. Подставим значения x из промежутка [-1,1] в уравнение и найдем значения производной:

y'(-1) = 5(-1)^4 - 3(-1)^2 + 1 = 5 - 3 + 1 = 3
y'(0) = 1
y'(1) = 51^4 - 31^2 + 1 = 5 - 3 + 1 = 3

Таким образом, у функции есть две точки экстремума на заданном промежутке: при x=-1 и x=1. Теперь найдем значения функции в этих точках:

y(-1) = (-1)^5 - (-1)^3 - 1 + 2 = -1 + 1 - 1 + 2 = 1
y(1) = 1 - 1 + 1 + 2 = 3

Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке [-1,1] равно 1 и достигается при x=-1.