Для равностороннего треугольника высота совпадает с медианой и проведёное в нём биссектрисой.

Поместим треугольник на координатную плоскость так, чтобы его вершина А лежала в начале координат, сторона АВ была параллельна оси OX и имела длину 8.

Таким образом, координаты точки В равны (8, 0), а координаты точки С равны (4, 6√3).

Найдем уравнение прямой, проходящей через вершину C и перпендикулярной стороне АВ, которая будет являться высотой и медианой.

Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂):

y - y₁ = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - x₁)

Здесь x₁ = 8, y₁ = 0, x₂ = 4, y₂ = 6√3. Подставим:

y - 0 = (6√3 - 0) / (4 - 8) (x - 8)
y = 6√3 / (-4) (x - 8)
y = -3√3 / 2 * (x - 8)

Уравнение прямой, проходящей через вершину С и перпендикулярной стороне АВ, имеет вид y = -3√3 / 2 * (x - 8).

Теперь найдем точку пересечения этой прямой с стороной АВ, что будет являться вершиной D равностороннего треугольника:

-3√3 / 2 * (x - 8) = 0
x = 8

Таким образом, координаты точки D равны (8, 4√3).

Найдем расстояние между точками C и D, что будет являться длиной высоты и медианы треугольника:

d(CD) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
d(CD) = √((8 - 4)² + (4√3 - 0)²)
d(CD) = √(4² + (4√3)²)
d(CD) = √(16 + 48)
d(CD) = √64
d(CD) = 8

Таким образом, длина высоты и медианы равностороннего треугольника ABC со стороной 8 равна 8.