Давайте обозначим длину одной стороны прямоугольника за ( x ), а длину второй стороны за ( y ). Тогда периметр прямоугольника равен
[2x + 2y = 12]
или
[x + y = 6]
Мы хотим найти площадь прямоугольника, которая равна
[S = x \cdot y]

Из уравнения (x + y = 6) мы можем выразить одну переменную через другую: например, (y = 6 - x). Подставим это в выражение для площади и получим:
[S = x \cdot (6 - x) = 6x - x^2]

Это квадратное уравнение вида (ax^2 + bx + c), где (a = -1), (b = 6), (c = 0). Вершина параболы этого уравнения находится по формуле (x = -\frac{b}{2a}). Подставив значения (a) и (b), мы найдем точку вершины параболы:
[x = -\frac{6}{2 \cdot -1} = 3]

Таким образом, прямоугольник с размерами (3 \times 3) (т.е. квадрат) имеет наибольшую площадь. Площадь этого прямоугольника равна (S = 3^2 = 9) кв. см.