Для решения данного интеграла, представим его в виде интеграла от arctan(sqrt(x))dx.

Выполним замену переменных: t = sqrt(x), тогда x = t^2 и dx = 2tdt.

Интеграл принимает вид: ∫arctan(t)*2tdt.

Проинтегрируем по частям, взяв u = arctan(t) и dv = 2tdt:

du = 1/(1 + t^2)dt,
v = t^2.

Тогда интеграл примет вид: uv - ∫vdu = t^2 arctan(t) - ∫t^2/(1 + t^2)dt.

Интегрируя ∫t^2/(1 + t^2)dt, можно сделать замену переменных: z = 1 + t^2, тогда dt = dz/(2t):

∫t^2/(1 + t^2)dt = 1/2 ∫dz/z = 1/2 ln|z| = 1/2 ln|1+t^2|.

Тогда окончательно интеграл равен:

t^2 arctan(t) - 1/2 ln|1+t^2| + C,

где C - постоянная интегрирования.

Теперь подставляя обратно t = sqrt(x), получаем окончательный ответ:

sqrt(x)^2 arctan(sqrt(x)) - 1/2 ln|1 + sqrt(x)^2| + C = x arctan(sqrt(x)) - 1/2 ln(1 + x) + C.