а) Исходное дифференциальное уравнение: cos^2(x) * y' = sgn(1 - y^2)

cos^2(x) * y' = sgn(1 - y^2)
y' = (sgn(1 - y^2))/cos^2(x)

y' = (1 - y^2)/|1 - y^2| / cos^2(x)
y' = (1 - y^2) / (1 - y^2) / cos^2(x)
y' = 1 / cos^2(x)

y = sin(x) + C

б) Исходное дифференциальное уравнение: xy' - y + x * e^x = 0

xy' - y + x e^x = 0
xy' = y - x e^x
y' = (y - x * e^x) / x
y' = (y / x) - e^x

Пусть y / x = v, тогда y = v x
Тогда y' = v + x v'

v + x v' = v - e^x
x v' = -e^x
v' = -e^x / x

Интегрируем:
v = ln|x| + C

Таким образом, решением дифференциального уравнения является:
y = x * ln|x| + Cx