Для начала найдем радиусы основ конуса. Пусть r1 и r2 - радиусы меньшего и большего оснований соответственно, h - общая высота усеченного конуса. Тогда объем усеченного конуса равен V = (1/3) π h (r1^2 + r1r2 + r2^2). Из условия задачи получаем, что V = 10/9 * π. Также заметим, что угол между образующей и плоскостью большего основания равен 60 градусов, следовательно, треугольник, образованный осевым сечением, образующей и радиусом, равнобедренный. Таким образом, r1 = r2.

Теперь у нас есть два уравнения:
1) V = 10/9 * π
2) r1 = r2
3) r1^2 + r1^2 + r1^2 = h^2, так как треугольник, образованный осевым сечением, образующей и радиусом, равнобедренный

Из уравнений 1 и 2 находим r1 и r2:
r1 = r2 = (3√10)/3

Подставляем найденные значения в уравнение 3 и находим высоту h:
3 (3√10)^2 = h^2
2710 = h^2
h = 3√30

Итак, высота усеченного конуса равна 3√30.