Пусть искомая дробь равна a/(a + 1), где a - числитель. Тогда обратная ей дробь будет (a + 1)/a.

Согласно условию задачи, сумма дроби и обратной ей равна 13/6:

a/(a + 1) + (a + 1)/a = 13/6

После умножения обеих дробей на общее кратное, упростим уравнение:

a^2/(a^2 + a) + (a^2 + a)/a^2 = 13/6

a^2 + (a^2 + a)^2 / a^2(a^2 + a) = 13/6

a^2 + (a^2 + a)^2 = 13/6 a^2 (a^2 + a)

a^2 + a^4 + 2a^3 + a^2 = 13/6 a^4 + 13/6 a^3

Упростим это уравнение и приведем к квадратному виду:

6a^4 + 6a^3 + 12a^2 + 6a = 13a^4 + 13a^3

a^4 - 7a^3 + 12a^2 + 6a = 0

(a^2 - 6a)(a^2 - a) = 0

a = 6 или a = 1

Подставляем найденные значения обратно в исходное уравнение, чтобы проверить:

1/(1 + 1) + (1 + 1)/1 = 1/2 + 2/1 = 1/2 + 2 = 5/2 ≠ 13/6, не подходит

6/(6 + 1) + (6 + 1)/6 = 6/7 + 7/6 = 36/42 + 49/42 = 85/42

Ответ: искомая дробь - 6/7.