Для начала заметим, что данное число можно представить в виде:
n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n = n^2(n^2+2n-1)(n-2)

Теперь рассмотрим данное выражение в остатках по модулю 4:
1) Для n=0: 0^4 + 20^3 - 0^2 - 20 = 0 => делится на 4
2) Для n=1: 1^4 + 21^3 - 1^2 - 21 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 => делится на 4
3) Для n=2: 2^4 + 22^3 - 2^2 - 22 = 16 + 16 - 4 - 4 = 24 => делится на 4

Далее посмотрим на данное выражение в остатках по модулю 8:
1) Для n=0: 0^4 + 20^3 - 0^2 - 20 = 0 => делится на 8
2) Для n=1: 1^4 + 21^3 - 1^2 - 21 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 => делится на 8
3) Для n=2: 2^4 + 22^3 - 2^2 - 22 = 16 + 16 - 4 - 4 = 24 => делится на 8

Таким образом, для 4 и 8 первые 3 значения дают остаток 0, значит делится на 4 и 8.

Рассмотрим далее остатки по модулю 3:
1) Для n=0: 0^4 + 20^3 - 0^2 - 20 = 0 => делится на 3
2) Для n=1: 1^4 + 21^3 - 1^2 - 21 = 1 + 2 - 1 - 2 = 0 => делится на 3
3) Для n=2: 2^4 + 22^3 - 2^2 - 22 = 16 + 16 - 4 - 4 = 24 => делится на 3

Получаем, что число делится на 3.

Таким образом, число n^4 + 2n^3 - n^2 - 2n делится на 4, 8, 12, 24 при любых целых значениях n.