Давайте предположим, что задуманное двузначное число равно xy, где x - десятки, y - единицы.

Тогда условие задачи можно записать в виде уравнений:
10x + y ≡ 4 (mod 7)
10x + y ≡ 4 (mod 5)

Приведем первое уравнение к виду:
3x + y ≡ 4 (mod 7)
Теперь составим таблицу возможных значений для чисел x и y:
x | y | 3x + y (mod 7)
1 | 1 | 4
1 | 8 | 0
2 | 2 | 2
2 | 9 | 6
3 | 3 | 1
3 | 0 | 5
4 | 4 | 3
4 | 1 | 0
5 | 5 | 4
5 | 2 | 1
6 | 6 | 5
6 | 3 | 2
7 | 7 | 6
7 | 4 | 3
8 | 8 | 0

Из таблицы видно, что исключая х=1, то исключение является заключительным.

Таким образом, из таблицы видно, что ученик задумал число 18.