Для нахождения этого интеграла можно воспользоваться методом замены переменной. Для начала проведем замену переменной:

Пусть u = x^2 + 8x + 97
Тогда du = (2x + 8)dx

Кроме того, можно выразить x и dx через u и du:

x^2 + 8x + 97 = ux^2 + 8x + 16 = u - 81 => (x + 4)^2 = u - 81x + 4 = sqrt(u - 81) или x = sqrt(u - 81) - 4dx = (1/2)(1/sqrt(u - 81))du

Подставляем значения x и dx в интеграл:
∫ ((9(sqrt(u - 81) - 4) + 80)/√u)(1/2)(1/√(u - 81))du

Теперь упростим выражение:
∫ ((9sqrt(u - 81) - 36 + 80)/√u) (1/2)(1/√(u - 81)) du =
1/2 ∫(9√u/√(u - 81) - 36/√(u - 81) + 80/√u)du
1/2 ∫(9√(u + 81) - 36*(u - 81)^(-1/2) + 80u^(-1/2))du

Теперь можем найти интеграл каждой части по отдельности и получить окончательный результат.