Дано, что сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 21. Пусть эти числа обозначаются как a и b. Тогда a^2 + b^2 = 21k, где k - некоторое натуральное число.

Заметим, что 21 = 3 7, а 441 = 21^2 = 3^2 7^2. Таким образом, чтобы доказать, что сумма a^2 + b^2 делится на 441, достаточно доказать, что она делится одновременно на 3^2 = 9 и на 7^2 = 49.

Рассмотрим выражение (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab. Так как a^2 + b^2 делится на 21, то оно делится и на 3 и на 7. Таким образом, 2ab также должно делиться на 3 и на 7.

Если 2ab делится на 3, то это значит, что по крайней мере одно из чисел a или b делится на 3. Аналогично, если 2ab делится на 7, то это значит, что по крайней мере одно из чисел a или b делится на 7.

Таким образом, у нас есть два случая:

Пусть a делится на 3. Тогда b не делится на 3, и 2ab делится на 3 и на 7, так как b не делится на 3, то 2b делится на 3. Следовательно, в этом случае сумма квадратов a^2 + b^2 делится на 9 и на 49, и, следовательно, на 441.Пусть b делится на 3. Аналогично, в этом случае сумма квадратов a^2 + b^2 также делится на 441.

Таким образом, мы доказали, что если сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 21, то она также делится на 441.