Чтобы проинтегрировать функцию y = x*ln$x$, воспользуемся интегрированием по частям.

Интегрирование по частям выглядит следующим образом:

∫u dv = uv - ∫v du

Выберем u = ln$x$, тогда dv = x dx, и произведем дифференцирование и интегрирование:

du = $1/x$dx
v = $1/2$x^2

Подставим в формулу:

∫xln$x$dx = $1/2$x^2ln$x$ - ∫$1/2$x^2$1/x$dx
∫xln$x$dx = $1/2$x^2ln$x$ - $1/2$∫xdx
∫xln$x$dx = $1/2$x^2ln$x$ - $1/2$$1/2$x^2 + C
∫xln$x$dx = $1/2$x^2ln$x$ - $1/4$x^2 + C

Где C - произвольная постоянная.