Для решения данного логарифмического неравенства, мы можем использовать следующие свойства логарифмов:

lg$a$ < 0, если 0 < a < 1lg$a$ = 0, если a = 1lg$a$ > 0, если a > 1

Также нам нужно помнить, что логарифм отрицательного числа не определен.

Итак, решим неравенство:

$5x+1$ lg $4-x$ < 0

Первым шагом найдем точки, в которых выражение внутри логарифма равно нулю или не определено. В данном случае это x = 4.

Рассмотрим интервалы:

а) x < 4

Подставляем x < 4 в выражение $4-x$, получим положительное число. Учитывая свойства логарифмов, lg$4-x$ > 0 для x < 4. Так как $5x+1$ > 0 для x < 4, то произведение будет положительным.

б) x > 4

Подставляем x > 4 в выражение $4-x$, получим отрицательное число. Учитывая свойства логарифмов, lg$4-x$ < 0 для x > 4. Умножение на $5x+1$ даст отрицательное число.

Итак, решением неравенства является интервал x < 4.