Уравнение сферы с центром в точке А и касающейся плоскости BCD имеет вид:
(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = (r)^2, где r - радиус сферы.

Так как сфера касается плоскости BCD, то расстояние от центра сферы до плоскости BCD равно радиусу сферы. Таким образом, чтобы найти радиус сферы, найдем расстояние от точки А до плоскости BCD:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где коэффициенты A, B, C, D в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0, а координаты точки А - A(1;1;1).

Уравнение плоскости BCD задается координатами точек B, C, D, следовательно:
2x + 6y - z - 7 = 0

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости BCD:
d = |21 + 61 - 1 - 7| / sqrt(2^2 + 6^2 + (-1)^2) = 5 / sqrt(41)

Таким образом, уравнение сферы имеет вид:
(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = (5 / sqrt(41))^2

Уравнение высоты грани АВС, проходящей через вершину А, можно найти учитывая, что высота перпендикулярна основанию треугольника АВС. Так как основание треугольника АВС - это треугольник ВСА, то вектор высоты будет направлен вдоль произведения векторов BA и CA. Таким образом, уравнение прямой, содержащей высоту треугольника АВС будет иметь вид:
l: x = 1 + t, y = 1 + t, z = -3t + 1, где t - параметр.

Чтобы найти точку, симметричную точке А относительно плоскости BCD, нужно найти проекцию точки А на плоскость BCD и отразить эту проекцию относительно плоскости BCD. Проекция точки А на плоскость BCD - это точка пересечения перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости BCD. Найдем эту точку:
l: 2x + 6y - z - 7 = 0 - уравнение плоскости BCD
(x; y; z) - произвольная точка на прямой из точки А
(x; y; z) = (1;1;1) + t(1;1;-3)

Подставим координаты точки на прямой в уравнение плоскости BCD:
2(1+t) + 6(1+t) - (1-3t) - 7 = 0
2 + 2t + 6 + 6t - 1 + 3t - 7 = 0
11t = 0
t = 0

Отсюда получаем, что проекция точки А на плоскость BCD равна (1;1;1).

Теперь найдем точку, симметричную точке А относительно плоскости BCD:
d = |21 + 61 - 1 - 7| / sqrt(2^2 + 6^2 + (-1)^2) = 5 / sqrt(41)

Точка, симметричная точке А относительно плоскости BCD, имеет координаты:
(1;1;1) - 2 (5 / sqrt(41)) (2; 6; -1) = (-15 / sqrt(41); -29 / sqrt(41); 11 / sqrt(41))