Для доказательства этого утверждения обозначим точку пересечения биссектрисы угла A и отрезка BC за точку D.

Так как точка О равноудалена от сторон AB и AC, то мы можем записать уравнения равенства расстояний от точки О до сторон треугольника:
OA = OB
OA = OC

Также можем записать, что треугольники OAB и OAC равнобедренные, так как у них равны два угла: ∠OAB и ∠OAC. Следовательно, OD также равно длине ОА.

Теперь обратим внимание на треугольники OBD и OCD. Видим, что эти треугольники равны, так как у них равны две стороны OD и OD, а также угол между ними равен ∠BOD = ∠CDO.

Из равенства треугольников OBD и OCD следует, что OD равно длине OC, а значит точка D совпадает с точкой О.

Таким образом, мы доказали, что точка О лежит на биссектрисе угла A.