Для решения данной производной сначала перепишем функцию ln(arctg(1/x)) в виде логарифма отношения:

ln(arctg(1/x)) = ln(arctg(1/x))/ln(arctg(1/x))

Теперь применим формулу дифференцирования логарифма от функции:

d/dx ln(u) = u'/u

Где u = arctg(1/x). Найдем производную arctg(1/x) с помощью цепного правила:

(u^2 + 1)u' = -1/x^2 (дифференцируем arctg(1/x))

Теперь найдем производную функции ln(arctg(1/x)):

(ln(arctg(1/x)))' = (arctg(1/x)'/arctg(1/x)) = (-1/x^2) / arctg(1/x)

Таким образом, производная ln(arctg(1/x)) равна -1/(x^2 * arctg(1/x)).

Данное утверждение основано на использовании цепного правила и формулы дифференцирования логарифма от функции.