Пусть два числа, сумма которых равна 10, обозначаются как x и y. Запишем данное условие в виде уравнения:

x + y = 10

Также дано, что сумма квадрата первого числа и куба второго числа принимает минимальное значение. Обозначим данное значение как z и запишем формулу:

z = x^2 + y^3

Для нахождения минимального значения z, найдем производные:

dz/dx = 2x
dz/dy = 3y^2

Поскольку z минимально, производные обращаются в ноль:

2x = 0
3y^2 = 0

Отсюда находим, что x = 0 и y = 0, но так как числа должны быть положительными, то это не приемлемый вариант. Поэтому рассмотрим следующий вариант:

x = 5, y = 5

Подставляем значения в уравнение для z:

z = 5^2 + 5^3 = 25 + 125 = 150

Таким образом, числа 5 и 5 удовлетворяют условиям задачи, и сумма квадрата первого и куба второго числа принимает минимальное значение, равное 150.