Для доказательства того, что треугольник MPT прямоугольный, достаточно проверить, что один из углов треугольника равен 90 градусов. Для этого можем воспользоваться свойством перпендикулярности двух прямых, а именно: две прямые перпендикулярны, если и только если их коэффициенты наклона произведения равны -1.

Вычислим коэффициенты наклона для всех сторон треугольника:

сторона MP: коэффициент наклона = (7-3)/(2+4) = 4/6 = 2/3сторона PT: коэффициент наклона = (-2-7)/(8-2) = -9/6 = -3/2сторона MT: коэффициент наклона = (-2-3)/(8+4) = -5/12

Таким образом, сторона MP и сторона PT перпендикулярны, а значит угол M равен 90 градусов. Следовательно, треугольник MPT прямоугольный.

Для нахождения радиуса описанной окружности воспользуемся формулой:

R = abc / 4S,

где a, b, c - стороны треугольника, а S - его площадь.

Вычислим длины сторон треугольника:

a = MT = √((8+4)^2 + (-2-3)^2) = √(12^2 + 5^2) = √(144 + 25) = √169 = 13,

b = MP = √((2+4)^2 + (7-3)^2) = √(6^2 + 4^2) = √(36 + 16) = √52,

c = PT = √((8-2)^2 + (-2-7)^2) = √(6^2 + 9^2) = √(36 + 81) = √117.

Найдем площадь треугольника по формуле Герона:

p = (a + b + c) / 2 = (13 + √52 + √117) / 2 ≈ 10.35,

S = √(p (p-a) (p-b) (p-c)) = √(10.35 (10.35-13) (10.35-√52) (10.35-√117)) ≈ 31.3.

Теперь найдем радиус описанной окружности:

R = abc / 4S = 13 √52 √117 / (4 31.3) = 13 6.87 * 10.82 / 125.2 ≈ 7.06.

Итак, радиус описанной окружности треугольника MPT равен приблизительно 7.06.