Bоковая поверхность призмы вычисляется по формуле S = p*h, где p - периметр основания, h - высота призмы. Поскольку стороны основания призмы относятся как 5:6:7:10, можно представить их как 5x, 6x, 7x и 10x соответственно.

Таким образом, периметр основания равен 5x + 6x + 7x + 10x = 28x. Для того чтобы найти значение x, нужно найти его через сравнение периметра с длиной диагонали:
50 = 2 √(5^2 + 6^2)x => 50 = 2√(25 + 36)x => 50 = 2√(61)x => 50 = 2 * 7.81x => x = 50 / 15.62 ≈ 3.2

Теперь можем найти периметр p = 28x = 28 * 3.2 = 89.6. Далее, чтобы найти высоту h, воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника, образованного диагоналями и высотой призмы:
h = √(52^2 - 50^2) = √(2704 - 2500) = √204 = 14.28

И, наконец, вычисляем боковую поверхность S = p h = 89.6 14.28 ≈ 1281.89. Таким образом, боковая поверхность призмы равна примерно 1281.89.