Решим уравнение по очереди:

Рассмотрим случаи, когда х лежит в различных интервалах:
Для х < 3: уравнение примет вид (4-х)(5-х + 3-x) = 4(х-4), что эквивалентно (х-4)(8-х) = 4(х-4) или x^2 - 12x + 32 = 0. Решив это уравнение, получаем корни x1 = 4 и x2 = 8. Таким образом, сумма корней в данном случае равна 12.Для 3 <= x < 4: уравнение переписываем так: (х-4)(5-x + 3-x) = 4(х-4), что приведет нас к уравнению (х-4)(8-2x) = 4(х-4) или 2x^2 - 16x + 32 = 0. Решив его, находим x1 = x2 = 4.Для 4 <= x <= 5: заметим, что (х-4) равно нулю, а следовательно уравнение сокращается до уравнения |х-3| = 4, которое не имеет решений в данном интервале.Для x > 5: уравнение превращается в (х-4)(x-5 + x-3) = 4(х-4), что при упрощении дает x^2 - 12x + 32 = 0. Решив это уравнение, находим корни x1 = 4 и x2 = 8. Следовательно, сумма корней составляет 12.

Итак, сумма корней уравнения |х-4| * (|х-5| + |х-3|) = 4(х-4) составляет 12.