1) Сумма корней уравнения равна -b/a, где b = 3(1+√3) и a = 1.
Таким образом, сумма корней равна -(3(1+√3))/1 = -3(1+√3).

2) Для нахождения рационального корня уравнения можно воспользоваться формулой дискриминанта.
D = (3(1+√3))^2 - 419√3 = 9(1+2√3+3) - 36√3 = 9 + 18√3 + 27 - 36√3 = 36 - 18√3
D = 18(2 - √3)

Так как D > 0, у уравнения есть два корня, один из которых рациональный. Для нахождения рационального корня выразим его через формулу:
x = (-b ± √D)/2a
x = [-(3(1+√3)) ± √(18(2-√3))]/2

Для того чтобы рациональный корень был целым, нужно, чтобы подкоренное выражение D было точным квадратом целого числа. В данном случае подкоренное выражение не является точным квадратом целого числа, поэтому рациональный корень получается комплексным или иррациональным.