Для того чтобы уравнение (10x^2 + px + 40 = 0) не имело корней, дискриминант этого квадратного уравнения должен быть отрицательным.

Дискриминант квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) равен (D = b^2 - 4ac).

В данном случае у нас (a = 10), (b = p), (c = 40).

Подставляем значения в формулу дискриминанта:

(D = p^2 - 4 \cdot 10 \cdot 40)

(D = p^2 - 1600).

Чтобы уравнение не имело корней, нужно, чтобы дискриминант (D) был меньше нуля:

(p^2 - 1600 < 0).

(p^2 < 1600).

(p < \sqrt{1600}).

(p < 40).

Таким образом, уравнение (10x^2 + px + 40 = 0) не имеет корней при значениях (p < 40).