Для вычисления производной функции ( f(x)=x^3-5x ) по определению необходимо воспользоваться определением производной:
[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} ]

Подставим нашу функцию ( f(x)=x^3-5x ) в определение производной:
[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3-5(x+h) - (x^3-5x)}{h} ]

Раскроем скобки:
[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 5x - 5h - x^3 + 5x}{h} ]

Упростим выражение:
[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 5h}{h} ]

Сократим ( h ) в числителе и знаменателе:
[ f'(x) = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3xh + h^2 - 5 ]

При ( h=0 ) получим:
[ f'(x) = 3x^2 - 5 ]

Таким образом, производная функции ( f(x)=x^3-5x ) равна ( f'(x) = 3x^2 - 5 ).