Для доказательства неравенства KP < MP воспользуемся теоремой косинусов.

Пусть угол MNP равен α, длины сторон треугольника MNP: MP = a, MN = b, NP = c.

Так как угол MNP острый, то угол NMP тупой. Поэтому, треугольник MNP – неравнобедренный и высота, опущенная из вершины M, лежит внутри треугольника.

По теореме косинусов для треугольника MNP:
MP^2 = MN^2 + NP^2 - 2MNNP*cos(α)

Теперь рассмотрим треугольник KNP. Так как KP – отрезок, лежащий на стороне MN, то можно записать:
KP^2 = MN^2 + NP^2 - 2MNNP*cos(β), где угол β больше угла α (так как угол NKP тупой)

Поскольку cos(β) < cos(α) (так как угол β больше угла α), то выражение для KP^2 больше выражения для MP^2:
KP^2 > MP^2

Таким образом, KP < MP.