Для начала найдем значения функции на концах отрезка:

f(-2) = (-2)^3 - (-2)^2 + 1 = -8 - 4 + 1 = -11 + 1 = -10
f(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1

Теперь найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точки экстремума:

f'(x) = 3x^2 - 2x
3x^2 - 2x = 0
x(3x - 2) = 0
x = 0 или x = 2/3

Проверим значения функции в найденных точках:
f(0) = 0^3 - 0^2 + 1 = 1
f(2/3) = (2/3)^3 - (2/3)^2 + 1 ≈ 0.15

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-2; 1] равно 1, оно достигается при x = 0, а наименьшее значение равно -10, оно достигается при x = -2.