Давайте раскроем скобки и упростим левую часть равенства:

(m+n)(n-m)^2 + 2mn(m+n) = (m+n)(n^2 - 2nm + m^2) + 2mn(m+n)
= mn^2 - 2m^2n + n^3 + mn^2 + 2m^2n
= 2mn^2 + n^3

Теперь упростим правую часть равенства:

(n+m)^3 - 2mn(m+n) = (n+m)(n+m)(n+m) - 2mn(m+n)
= (n^2 + 2mn + m^2)(n+m) - 2mn(m+n)
= n^3 + n^2m + 2mn^2 + 2m^2n + mn^2 + m^3 - 2m^2n - 2mn^2
= n^3 + m^3

Таким образом, левая часть равна правой, и тождество доказано.