Пусть длина прямоугольника будет х см, а ширина - у см. Тогда периметр выразится формулой 2(х + у) = 48, откуда х + у = 24.

Площадь прямоугольника S = х * у. Решим систему уравнений:
1) x + y = 24
2) S = xy

Запишем y = 24 - x и подставим в формулу S: S = x(24 - x) = 24x - x^2

Эта функция представляет собой параболу, у которой ветви направлены вниз. Найдем вершину этой параболы (точку максимума) по формуле x = -b/(2a), где a = -1, b = 24:
x = -24/(2*(-1)) = 12

Таким образом, длина прямоугольника должна быть 12 см, чтобы площадь была наибольшей. Ширина также будет 12 см.