Для исследования функции Y=6x-x^3 мы можем начать с поиска ее производных.

Первая производная функции Y=6x-x^3 равна:
Y'=6-3x^2

Чтобы найти точки экстремума, равенства нулю производную и решим уравнение:
6-3x^2=0
3x^2=6
x^2=2
x=±√2

Таким образом, точки экстремума функции находятся в точках x=√2 и x=-√2. Мы можем использовать вторую производную для определения, является ли эти точки минимумами или максимумами.

Вторая производная функции Y=6x-x^3 равна:
Y''=-6x

Подставим точки x=√2 и x=-√2 в Y'' и получим:
Y''(√2)=-6√2 < 0
Y''(-√2)=6√2 > 0

Таким образом, x=√2 - это точка максимума, а x=-√2 - минимума.

Теперь построим график функции Y=6x-x^3. Наше исследование показало, что функция имеет точек максимума при x=√2 и минимума при x=-√2. График будет убывать слева направо и возрастать справа налево.

На графике также будет видно точку перегиба функции (inflection point), которая находится в точке x=0. Это обозначает, что функция изменяет свою выпуклость в этом месте.

Построив график функции Y=6x-x^3, мы сможем лучше понять ее характеристики и поведение.