Чтобы выяснить, образуют ли данные векторы базис четырехмерного пространства, нужно проверить их линейную независимость.

Сформируем матрицу из данных векторов и приведем ее к ступенчатому виду:

[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 0\ 1 & 1 & 0 & 0\ 1 & 0 & 1& 1 \end{pmatrix} ]

Преобразуем матрицу в ступенчатый вид:

[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1 \ 0 & -1 & 1 & -1 \ 0 & 0 & 0 & -1\ 0 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} ]

Так как имеется свободная переменная (последний столбец), векторы линейно независимы. Значит, векторы (1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 1) образуют базис четырехмерного пространства.