1 Доказательство:

Пусть треугольник ABC имеет медиану AM. Возьмем точку D - середину стороны BC. Тогда BD=DC.

Так как AM - медиана треугольника ABC, то AM делит сторону BC пополам, т.е. BM=MC.

Проведем прямую, проходящую через точки A и D. Пусть она пересекает прямую BC в точке E.

Поскольку BD=DC и BM=MC, то треугольник ABE равнобедренный. Следовательно, угол BAE= угол EAC.

Так как угол BAE= угол EAC и угол BAM= угол CAM, то угол BAM= угол CAM.

Таким образом, AM - медиана треугольника ABC, лежит в плоскости треугольника ABC.

2 Плоскость, перпендикулярная данной плоскости и проходящая через данную точку, может быть построена бесконечное количество раз. Это связано с тем, что при выборе точки в пространстве, существует бесконечное число прямых, перпендикулярных данной плоскости.3 Решение:

Пусть O - центр описанной окружности, описанной около треугольника ABC. Так как MO - радиус описанной окружности, а MO=5, то радиус окружности равен 5. Перпендикуляр из точки М к плоскости треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке P.

Так как MP - радиус вписанной окружности треугольника ABC, MP=4. Так как радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности взаимно перпендикулярны в точке касания, то по теореме Пифагора OP^2=MP^2+MO^2, откуда OP^2=4^2+5^2=41.

Таким образом, радиус описанной окружности равен √41.