Для начала определим все возможные исходы вытаскивания шаров из каждой урны.

Из первой урны можно вытащить 2 белых шара и чёрный шар, либо 2 белых и белый шар:
1) вероятность вытащить 2 белых и чёрный шар: $3/4$ $2/3$ = 1/2
2) вероятность вытащить 2 белых и белый шар: $3/4$ $2/3$ = 1/2

Из второй урны можно вытащить 2 белых шара и чёрный шар, либо 2 белых и 2 чёрных шара:
1) вероятность вытащить 2 белых и чёрный шар: $3/5$ $2/4$ = 3/10
2) вероятность вытащить 2 белых и 2 чёрных шара: $3/5$ $2/4$ = 3/10

Теперь найдем математическое ожидание количества чёрных шаров, уже вынутых из каждой урны:

E$\xi$ = 1$1/2$ + 1$1/2$ + 1$3/10$ + 2$3/10$ = 7/5

Также найдем математическое ожидание количества оставшихся белых шаров в первой урне:

E$N$ = 2$1/2$ + 1$1/2$ + 0*$3/10$ = 2.1

Теперь найдем ковариацию между случайной величиной 3*ξ - 1 и 2N:

Cov$3<em>\xi -1,2N$ = E$(3</em>\xi -1)<em>(2N)$ - E$3</em>\xi -1$E$2N$

Так как 3ξ и 2N независимы, то Cov$3</em>\xi -1,2N$ = 0 - E$3<em>\xi -1$E$2N$ = 0 - $7/5$$2.1$ = -14/5

Наконец, найдем коэффициент корреляции:

r = Cov$3<em>\xi -1,2N$ / $STD(3</em>\xi -1)\ast STD(2N)$

STD$3<em>\xi -1$ = 3STD$\xi$ = 3sqrt$Var(\xi )$ = 3sqrt$E({\xi }^2)-(E(\xi ){)}^2$ = 3sqrt$(2</em>7/5)-(7/5{)}^2$ = 3sqrt$14/5-49/25$ = 3sqrt$70/25-49/25$ = 3sqrt$21/25$ = 33sqrt$21$/5

STD$2N$ = 2STD$N$ = 2sqrt$Var(N)$ = 2sqrt$E(N^2)-(E(N){)}^2$ = 2sqrt$(2.1<em>2)-(2.1{)}^2$ = 2sqrt$4.2-4.41$ = 2sqrt$-0.21$ = 2sqrt$21$/5

r = -14/$5<em>(3</em>3sqrt(21)/5)<em>(2</em>sqrt(21)/5)$ = -14 / $9\ast 21$ = -14/189

Ответ: Коэффициент корреляции между случайными величинами 3*ξ - 1 и 2N равен -14/189.