Для того чтобы вычислить площадь, ограниченную кривой y=2+x-x^2 и осью Ox, нужно найти точки пересечения этой кривой с осью Ox.
Для этого решим уравнение y=0:0=2+x-x^2x^2-x-2=0
Факторизуем это квадратное уравнение:x−2x-2x−2x+1x+1x+1=0
Отсюда получаем два корня: x=2 и x=-1.
Теперь вычислим интеграл от данной кривой:∫2+x−x22+x-x^22+x−x2dx = 2x + x2x^2x2/2 - x3x^3x3/3 + C
Вычислим определенный интеграл на отрезке −1,2-1,2−1,2:S = ∫2,−12, -12,−1 2+x−x22+x-x^22+x−x2dx = 2(2)+(22)/2−(23)/32(2)+(2^2)/2-(2^3)/32(2)+(22)/2−(23)/3 - 2(−1)+((−1)2)/2−((−1)3)/32(-1)+((-1)^2)/2-((-1)^3)/32(−1)+((−1)2)/2−((−1)3)/3 S = 4+2−8/34+2-8/34+2−8/3 - −2+1/2+1/3-2+1/2+1/3−2+1/2+1/3 S = 6/36/36/3 - −5/6-5/6−5/6 S = 12/6 + 5/6S = 17/6
Ответ: Площадь, ограниченная кривой y=2+x-x^2 и осью Ox, равна 17/6.
Для того чтобы вычислить площадь, ограниченную кривой y=2+x-x^2 и осью Ox, нужно найти точки пересечения этой кривой с осью Ox.
Для этого решим уравнение y=0:
0=2+x-x^2
x^2-x-2=0
Факторизуем это квадратное уравнение:
x−2x-2x−2x+1x+1x+1=0
Отсюда получаем два корня: x=2 и x=-1.
Теперь вычислим интеграл от данной кривой:
∫2+x−x22+x-x^22+x−x2dx = 2x + x2x^2x2/2 - x3x^3x3/3 + C
Вычислим определенный интеграл на отрезке −1,2-1,2−1,2:
S = ∫2,−12, -12,−1 2+x−x22+x-x^22+x−x2dx = 2(2)+(22)/2−(23)/32(2)+(2^2)/2-(2^3)/32(2)+(22)/2−(23)/3 - 2(−1)+((−1)2)/2−((−1)3)/32(-1)+((-1)^2)/2-((-1)^3)/32(−1)+((−1)2)/2−((−1)3)/3 S = 4+2−8/34+2-8/34+2−8/3 - −2+1/2+1/3-2+1/2+1/3−2+1/2+1/3 S = 6/36/36/3 - −5/6-5/6−5/6 S = 12/6 + 5/6
S = 17/6
Ответ: Площадь, ограниченная кривой y=2+x-x^2 и осью Ox, равна 17/6.