Для того чтобы найти уравнение прямой, параллельной заданным прямым и проходящей через точку M(1, 3, 1), нужно использовать уравнение прямой в пространстве в параметрической форме:

x = x0 + at
y = y0 + bt
z = z0 + ct

где (x0, y0, z0) - координаты точки M(1, 3, 1), а (a, b, c) - направляющий вектор прямой, параллельной заданным прямым.

Найдем направляющий вектор прямой, параллельной данным прямым. Для этого найдем вектор нормали к обеим прямым:

1) Найдем вектор нормали к первой прямой:
x + y - z = 2
Представим это уравнение в виде a1x + b1y + c1z = d1:
a1 = 1, b1 = 1, c1 = -1, d1 = 2
Вектор нормали к первой прямой будет задан коэффициентами a1, b1, и c1:
n1 = {1; 1; -1}

2) Найдем вектор нормали ко второй прямой:
2x + 3y + z = 0
Представим это уравнение в виде a2x + b2y + c2z = d2:
a2 = 2, b2 = 3, c2 = 1, d2 = 0
Вектор нормали ко второй прямой будет задан коэффициентами a2, b2, и c2:
n2 = {2; 3; 1}

Таким образом, направляющий вектор прямой, параллельной данным прямым, будет равен векторному произведению нормалей к этим прямым:
n = n1 x n2 = {i, j, k;
1, 1, -1;
2, 3, 1} = -i + 3j - 1k

Теперь найдем уравнение прямой, проходящей через точку M(1, 3, 1) и параллельной данным прямым:

x = 1 - t
y = 3 + 3t
z = 1 - t

Где t - параметр, принимающий любые значения.