Для исследования функции f$x$ = x^2 + 2x + 3 на монотонность и экстремумы, первым шагом найдем производную функции:

f'$x$ = 2x + 2.

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю и найдем x:

2x + 2 = 0
2x = -2
x = -1.

Таким образом, точка экстремума функции f$x$ находится при x = -1.

Чтобы узнать характер экстремума, посмотрим знак производной в окрестности точки x = -1:

При x < -1: f'$x$ < 0, что означает убывание функции.

При x > -1: f'$x$ > 0, что означает возрастание функции.

Следовательно, функция f$x$ имеет локальный минимум при x = -1.

Таким образом, функция f$x$ = x^2 + 2x + 3 убывает на интервале $-бесконечность;-1$ и возрастает на интервале $-1;+бесконечность$. Также функция имеет локальный минимум в точке $-1,2$.