1) Для девятой степени такой многочлен существует, и более того можно найти его явный вид. Существование и единственность такого многочлена вытекает из фактов о полиноме Лагранжа и определителе Вандермонда.

2) Предположим, что мы построили многочлен f(x), степень которого равна 10. Рассмотрим следующее произведение одночленов: (x-1)(x-2)...(x-10)=g(x) - многочлен deg=10. Ну тогда, найдется еще такой многочлен (10 степени) h(x)=f(x)+g(x) (отличный от f(x)), который принимает те же значения в указанных точек 1,2,...,10. В самом деле, по построению g(1)=g(2)=...=g(10)=0 =>

h(1)=f(1)+g(1)=f(1)+0=f(1),

h(2)=f(2),

....

h(10)=h(10)

Отсюда немедленно заключаем, что таких многочленов бесконечно много!!!!

Ответ: 1) существует и единственен; 2) бесконечно много таких многочленов

Как иначе удостоверится, что во втором случае таких полиномов бесконечно много. Воспользоваться критерием совместности системы уравнений (Кронекера-Каппели) и ее следствием. При составлении СЛАУ, мы будем видеть, что ранги основной матрицы и соответствующей расширенной совпадают, но число неизвестных больше ранга основной матрицы. Значит, решений бесчисленное множество