Областью определения функции log x((x^2-6x)/(x-10)^2) является множество всех значений x, при которых аргумент логарифма больше нуля.

Необходимо найти значения x, при которых (x^2-6x)/(x-10)^2 > 0.

Рассмотрим знак числителя и знаменателя:
(x^2-6x) > 0
x(x-6) > 0

и

(x-10)^2 > 0

Исследуем каждое неравенство отдельно.

Рассмотрим x(x-6) > 0:
Множители x и x-6 имеют одинаковый знак. Поэтому решениями неравенства являются два интервала - (-∞, 0) и (6, +∞).

Рассмотрим (x-10)^2 > 0:
Квадрат всегда неотрицателен, поэтому (x-10)^2 > 0 всегда выполняется для всех x, кроме x = 10.

Теперь нужно объединить решения обоих неравенств, чтобы найти область определения функции:

Решение x(x-6) > 0 дает интервалы (-∞, 0) и (6, +∞).Решение (x-10)^2 > 0 дает все значения x, кроме x = 10.

Областью определения функции log x((x^2-6x)/(x-10)^2) является объединение интервалов (-∞, 0), (0, 6), (6, 10) и (10, +∞).