|x+3| + x^2 = 0
Если x + 3 >= 0, тогда |x+3| = x+3
x+3 + x^2 = 0
x^2 + x + 3 = 0
Дискриминант D = 1 - 4*3 = 1 - 12 = -11, D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.

Если x + 3 < 0, тогда |x+3| = -(x+3) = -x-3
-x-3 + x^2 = 0
x^2 - x + 3 = 0
Дискриминант D = 1 - 4*3 = 1 - 12 = -11, D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.

У уравнения нет действительных корней.

|x| + x^2 - 2x + 4 = 0
Если x >= 0, тогда |x| = x
x + x^2 - 2x + 4 = 0
x^2 - x + 4 = 0
Дискриминант D = 1 - 4*4 = 1 - 16 = -15, D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.

Если x < 0, тогда |x| = -x
-x + x^2 - 2x + 4 = 0
x^2 - 3x + 4 = 0
Дискриминант D = 9 - 16 = -7, D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.

У уравнения нет действительных корней.

|x| + |x+2| + x^2 + 2x = 0
Если x >= 0, тогда |x| + |x+2| = x + x + 2 = 2x + 2
2x + 2 + x^2 + 2x = 0
x^2 + 4x + 2 = 0
Дискриминант D = 16 - 4*2 = 16 - 8 = 8
x1 = (-4 + √8) / 2 = (-4 + 2√2) / 2 = -2 + √2
x2 = (-4 - √8) / 2 = (-4 - 2√2) / 2 = -2 - √2

Если x < 0, тогда |x| + |x+2| = -x + x + 2 = 2
2 + x^2 + 2x = 0
x^2 + 2x + 2 = 0
Дискриминант D = 4 - 8 = -4, D < 0
Уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, корни данного уравнения: x = -2 + √2; x = -2 - √2.