Коммутативность сложения матриц: A + B = B + A
Для доказательства данного свойства рассмотрим произвольные матрицы A и B. Тогда элементами матрицы A + B будут являться суммы соответствующих элементов матриц A и B:
(A + B)ij = Aij + Bij
С другой стороны, элементами матрицы B + A будут являться суммы соответствующих элементов матриц B и A:
(B + A)ij = Bij + Aij
Таким образом, для любых матриц A и B верно, что A + B = B + A. Свойство коммутативности сложения матриц доказано.

Ассоциативность сложения матриц: A + (B + C) = (A + B) + C
Для доказательства данного свойства рассмотрим произвольные матрицы A, B и C. Рассмотрим элементы левой и правой частей уравнения:
Левая часть: (A + (B + C))ij = Aij + (Bij + Cij)
Правая часть: ((A + B) + C)ij = (Aij + Bij) + Cij
Таким образом, для любых матриц A, B и C верно, что A + (B + C) = (A + B) + C. Свойство ассоциативности сложения матриц доказано.

Умножение матриц не коммутативно: AB ≠ BA
Для доказательства данного свойства можно привести контрпример. Рассмотрим две произвольные матрицы A и B, где А и В имеют разный размер, чтобы умножение было возможным. Тогда, в общем случае, AB ≠ BA. Следовательно, умножение матриц не является коммутативной операцией.

Ассоциативность умножения матриц: (AB)C = A(BC)
Для доказательства данного свойства рассмотрим произвольные матрицы A, B и C, где размеры матриц таковы, чтобы умножение было возможным. Рассмотрим элементы левой и правой частей уравнения:
Левая часть: ((AB)C)ij = Σk (AB)ikCkj = Σk (Σl AilBlk)Ckj
Правая часть: (A(BC))ij = Σk Ail(BC)lk = Σk AilΣm BlmCmk
Таким образом, для любых матриц A, B и C верно, что (AB)C = A(BC). Свойство ассоциативности умножения матриц доказано.

Дистрибутивность умножения матриц относительно сложения: (A + B)C = AC + BC
Для доказательства данного свойства рассмотрим произвольные матрицы A, B и C, где размеры матриц таковы, чтобы умножение было возможным. Рассмотрим элементы левой и правой частей уравнения:
Левая часть: ((A + B)C)ij = Σk (A + B)ikCkj = Σk (Aik + Bik)Ckj = Σk AikCkj + Σk BikCkj = Σk AikCkj + Σk BikCkj = ACij + BCij
Правая часть: (AC + BC)ij = ACij + BCij
Таким образом, для любых матриц A, B и C верно, что (A + B)C = AC + BC. Свойство дистрибутивности умножения матриц относительно сложения доказано.

Дистрибутивность умножения матриц относительно сложения в другом порядке: C(A + B) = CA + CB
Для доказательства данного свойства можно рассмотреть произвольные матрицы A, B и C, где размеры матриц таковы, чтобы умножение было возможным. Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим элементы левой и правой частей уравнения:
Левая часть: C(A + B)ij = Σk Cik(A + B)kj = Σk Cik(Akj + Bkj) = Σk CikAkj + Σk CikBkj = CAij + CBij
Правая часть: CAij + CBij
Таким образом, для любых матриц A, B и C верно, что C(A + B) = CA + CB. Свойство дистрибутивности умножения матриц относительно сложения также доказано.