Для начала, построим график функции y=3x^2+6x-9.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = 3*x**2 + 6*x - 9
plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Graph of y = 3x^2 + 6x - 9')
plt.grid(True)
plt.show()

После выполнения этого кода, вы увидите график функции y=3x^2+6x-9.

Теперь проанализируем эту функцию.

Вершина параболы:
Функция имеет параболическую форму, а коэффициент при x^2 положительный, поэтому парабола смотрится вверх. Вершина параболы определяется по формуле x = -b/(2a), где a = 3, b = 6. Подставляя значения в формулу, получаем x = -6/(23) = -1. Подставляя значение x = -1 обратно в уравнение, найдем y: y = 3(-1)^2 + 6*(-1) - 9 = 3 - 6 - 9 = -12. Таким образом, вершина параболы находится в точке (-1, -12).

Направление выпуклости параболы:
Поскольку коэффициент при x^2 положительный, парабола смотрит вверх, т.е. парабола выпукла вверх.

Нули функции:
Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение 3x^2 + 6x - 9 = 0. Можно воспользоваться квадратным уравнением для этого. Получаем x = (-6 ± √(6^2-43(-9)))/(2*3) = (-6 ± √(36+108))/6 = (-6 ± √144)/6 = (-6 ± 12)/6. Решая уравнение, находим два корня: x1 = (-6 + 12)/6 = 1 и x2 = (-6 - 12)/6 = -3. Таким образом, нули функции равны x1 = 1 и x2 = -3.

Это основные характеристики функции y = 3x^2 + 6x - 9, которые помогут вам лучше понять ее поведение на графике.