Для того чтобы натуральное выражение n^2 + 14n + 13 делилось на 68, необходимо, чтобы оно было кратно 68, то есть было равно 68 * k, где k - целое число.

n^2 + 14n + 13 = 68k

n^2 + 14n + 13 - 68k = 0

n^2 + 14n + (49 - 36) - 68k = 0

(n + 7)^2 - 36 - 68k = 0

(n + 7)^2 = 36 + 68k

(n + 7)^2 = 4(9 + 17k)

Теперь у нас есть выражение вида квадрата целого числа равного 4 умножить на другое целое число.

После анализа можно заметить, что минимальное значение n равно 15, так как при n = 15 получаем (15 + 7)^2 = 4(9 + 217), а это дает 22^2 = 443.

Таким образом, наименьшее натуральное n, для которого n^2 + 14n + 13 делится на 68, равно 15.