Предположим, что все натуральные числа, среднее арифметическое которых равно 20,22, различны.

Пусть эти числа будут (x_1, x_2, ..., x_n) (n – количество чисел)

Тогда сумма всех чисел равна (x_1 + x_2 + ... + x_n = 20,22 \cdot n)

Так как все числа различны, то их сумму можно представить как сумму n различных натуральных чисел. Минимальная сумма n различных натуральных чисел равна 1 + 2 + ... + n = (\frac{n \cdot (n+1)}{2})

Поскольку сумма всех чисел равна 20,22n , то получаем неравенство: (20,22n \ge \frac{n \cdot (n+1)}{2})

20,22n (\ge \frac{n \cdot (n+1)}{2})
40,44n (\ge n \cdot (n+1))
40,44n (\ge n^2 + n)
n^2 - 39,44n + 0 (\le 0)

Данное квадратное уравнение имеет дискриминант D = 39,44^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 = 1551,1936, что больше нуля. Значит, уравнение имеет два корня и из него следует, что найдутся два равных числа среди всех натуральных чисел, среднее арифметическое которых равно 20,22.