Для того чтобы выражение n^2 + 6n - 23 было полным квадратом, его нужно представить в виде (n + k)^2, где k - целое число.

Раскрывая квадрат получаем:
n^2 + 2kn + k^2

Сравниваем коэффициенты при n:
2k = 6
k = 3

Теперь подставляем значение k в формулу и находим n:
n^2 + 6n - 23 = (n + 3)^2
n^2 + 6n - 23 = n^2 + 6n + 9
-23 = 9
не верно

Теперь попробуем n + k = 0:
n^2 + 6n - 23 = (n - 3)^2
n^2 + 6n - 23 = n^2 - 6n + 9
6n - 23 = -6n + 9
12n = 32
n = 32 / 12 = 8/3

Натуральное число n равно 3. Ответ: 3.