Олимпиада по геометрии Дан треугольник ABC со сторонами AB = 18; BC = 15. На биссектрисе угла B отложили точку D так, что BD = AC. Известно, что площадь треугольника BCD равна 10. Найти площадь четырехугольника ABCD.
Олимпиада по геометрии Дан треугольник ABC со сторонами AB = 18; BC = 15. На биссектрисе угла B отложили точку D так, что BD = AC. Известно, что площадь треугольника BCD равна 10. Найти площадь четырехугольника ABCD.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим через x длину стороны AC. Тогда из условия BD = AC получаем, что BD = x.
Так как BD является биссектрисой угла B, то AD = CD = x.
По формуле полупериметра треугольника площадь треугольника BCD равна:
S_BCD = sqrt(p(p - BC)(p - BD)(p - CD))
где p - полупериметр треугольника BCD, т.е.
p = (BC + BD + CD) / 2
p = (15 + x + x) / 2
p = (15 + 2x) / 2
p = 7.5 + x
Подставляем значение полупериметра в формулу площади:
10 = sqrt((7.5 + x)(7.5 + x - 15)(7.5 + x - x)(7.5 + x - x))
10 = sqrt((7.5 + x)(-7.5 + x)(7.5 + x)(7.5))
10 = 7.5√((7.5 + x)(7.5 - x))
Решая это уравнение, получаем два возможных значения для x: x = 6 или x = 4.
Если x = 6, то площадь четырехугольника ABCD равна:
S_ABCD = S_ABC + S_BCD
S_ABCD = S_ABC + 10
S_ABCD = 1/2 18 15 + 10
S_ABCD = 135 + 10
S_ABCD = 145
Если x = 4, то площадь четырехугольника ABCD равна:
S_ABCD = S_ABC + S_BCD
S_ABCD = S_ABC + 10
S_ABCD = 1/2 18 15 + 10
S_ABCD = 135 + 10
S_ABCD = 145
Итак, площадь четырехугольника ABCD равна 145.