Для решения этой задачи, можно воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит:

[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C]

где c - сторона треугольника, противолежащая углу С, а и b - оставшиеся стороны.

Из условия известно, что сторона AB = 28, угол C = 60 градусов, и отношение AC к BC равно 8:3. Пусть AC = 8x и BC = 3x.

Тогда, из теоремы косинусов, мы можем найти сторону С:

[c^2 = (8x)^2 + (3x)^2 - 2 \cdot 8x \cdot 3x \cdot \cos 60^\circ]
[c^2 = 64x^2 + 9x^2 - 48x^2 \cdot \frac{1}{2}]
[c^2 = 73x^2 - 24x^2]
[c^2 = 49x^2]
[c = 7x]

Теперь мы можем найти периметр треугольника ABC:

[P = AB + AC + BC]
[P = 28 + 8x + 3x]
[P = 28 + 11x]

Осталось найти значение x. Для этого воспользуемся тем, что сумма всех углов треугольника равна 180 градусов:

[180 = \angle A + \angle B + \angle C = \angle A + \angle B + 60]

Отсюда найдем угол A:

[\angle A + \angle B = 120]
[\angle A = 120 - \angle B]

Также, углы A и B в паре образуют углы, равные 180 градусов, с углами при основании треугольника, значит, они дополнительны:

[\angle A + \angle D = 180]
(120 - \angle B + \angle D = 180]
(\angle D = \angle B - 60)

Таким образом, углы A и D в паре образуют 180 градусов, значит, они также дополнительны:

[\angle A + \angle D = 180]
[120 - \angle B + \angle B - 60 = 180]

Решив это уравнение, найдем значение угла B.

Теперь, зная угол B, можно найти значение x и, в конечном итоге, периметр треугольника.